MS-E1461: Hilbertrum
| Kursens namn | Hilbertrum |
|---|---|
| Kurskod | MS-E1461 |
| Förkortning | Hilbert |
| Tidpunkt | Period I |
| Föreläsare | Ville Turunen |
Beskrivning
Som namnet antyder ligger kursens huvudfokus på Hilbertrum, som är särskilt viktiga inom kvantmekanik, partiella differentialekvationer, Fourieranalys och spektralteori.
Dessutom ger kursen grundläggande metoder som också är användbara på andra matematikkurser på magisternivå.
Lärandemål officiellt
På kursen lär man sig om normer och inre produkter i oändligtdimensionella vektorrum. I samband med dessa strukturer får studenten förståelse för grundläggande egenskaper hos begränsade linjära operatorer, dualitet i Hilbertrum samt diagonalisering av kompakta självadjungerade operatorer.
Innehåll officiellt
Ortogonalitet, ortonormala baser, begränsade linjära operatorer, funktionaler och elementär spektralteori i Hilbertrum.
Ämnena omfattar Jordan–von Neumanns sats, Riesz representationssats för Hilbertrum, diagonalisering av kompakta självadjungerade operatorer, Hilbert–Schmidts spektralsats och singulärvärdesuppdelning.
Kursmaterial
Officiellt material
Det finns ganska bra föreläsningsanteckningar, tillgängliga som PDF och LaTeX, som räcker bra för kursen. Dessutom finns föreläsningsvideor från 2021 tillgängliga, och de behandlar nästan samma ämnen som de faktiska föreläsningarna.
Extra material
Innehåll och arbetsmängd
Liksom andra vanliga matematikkurser på magisternivå kräver kursen mycket arbete. Arbetsmängden är ändå ganska jämnt fördelad mellan veckorna.
Total arbetsmängd
★★★☆☆
Veckoinnehåll
- Vecka 1: Inre produkter, Hilbertrum, polarisationsidentiteten, $\ell^p$-rum, begränsade och kontinuerliga linjära operatorer samt utvidgning av begränsade operatorer.
- Vecka 2: Direkta summor av Hilbertrum, ortogonalitet, Hilberts integralolikhet, ortogonala komplement och slutna delrum.
- Vecka 3: Pythagoras likhet, Bessels olikhet, ortonormala samlingar, Gram–Schmidts process, uppräkneliga ortonormala baser och separabilitet.
- Vecka 4: Begränsade operatorer på Hilbertrum, adjungerade operatorer, självadjungering, identiteter för operatornormen, Fréchet–Riesz sats och en utvidgning av Hahn–Banach-typ.
- Vecka 5: Hermiteska former, Banach–Steinhaus sats, Lax–Milgrams sats samt normala, självadjungerade, unitära, positiva och kompakta operatorer.
- Vecka 6: Skiftoperatorer, adjungerade operatorer, spektra, kompakta självadjungerade operatorer, Hilbert–Schmidts spektralsats, spektraluppdelningar och polära uppdelningar.
Praktiska arrangemang
Kursen kan bedömas på två sätt:
- Veckovisa övningar 1/3 och tentamen 2/3.
- Tentamen 100 %.
Relaterade kurser
Officiella förkunskaper
MS-A00XX, MS-A01XX, MS-C1540
Ytterligare förkunskaper
Metriska rum och linjär algebra rekommenderas.
Liknande kurser
MS-E1462: Banach Spaces
Trivia
Tidsstämpel
Baserar sig på kursens version från 2025, som undervisades i period I.