MS-E1461: Hilbertin avaruudet

Kurssin nimi	Hilbertin avaruudet
Kurssikoodi	MS-E1461
Lyhenne	Hilbert
Ajankohta	I periodi
Luennoitsija	Ville Turunen

Kuvaus

Kuten nimestä voi päätellä, kurssin pääaiheena ovat Hilbertin avaruudet, jotka ovat erityisen tärkeitä kvanttimekaniikassa, osittaisdifferentiaaliyhtälöissä, Fourier-analyysissä ja spektraaliteoriassa.

Lisäksi kurssi tarjoaa perustyökaluja, joista on hyötyä myös muilla maisteritason matematiikan kursseilla.

Oppimistavoitteet virallisesti

Kurssilla opitaan normeista ja sisätuloista ääretönulotteisissa vektoriavaruuksissa. Näihin rakenteisiin liittyen opiskelija ymmärtää rajoitettujen lineaaristen operaattorien perusominaisuuksia, Hilbertin avaruuksien duaalisuutta sekä kompaktien itseadjungoitujen operaattorien diagonalisointia.

Sisältö virallisesti

Ortogonaalisuus, ortonormaalit kannat, rajoitetut lineaariset operaattorit, funktionaalit ja Hilbertin avaruuksien alkeellinen spektraaliteoria.

Aiheisiin kuuluvat Jordanin–von Neumannin lause, Hilbertin avaruuksien Rieszin esityslause, kompaktien itseadjungoitujen operaattorien diagonalisointi, Hilbertin–Schmidtin spektraalilause sekä singulaariarvohajotelma.

Kurssimateriaalit

Viralliset materiaalit

Kurssilla on melko hyvät LaTeXilla kirjoitetut luentomuistiinpanot. Ne riittävät hyvin kurssin suorittamiseen. Lisäksi saatavilla on vuoden 2021 luentovideoita, jotka kattavat lähes samat aiheet kuin varsinaiset luennot.

Lisämateriaalit

Sisältö ja työläys

Kuten muutkin tavalliset maisteritason matematiikan kurssit, tämä kurssi vaatii paljon työtä. Työmäärä jakautuu kuitenkin melko tasaisesti viikkojen välille.

Kokonaistyöläys

★★★☆☆

Viikkosisältö

• Viikko 1: Sisätulot, Hilbertin avaruudet, polarisaatioidentiteetti, $\ell^p$-avaruudet, rajoitetut ja jatkuvat lineaariset operaattorit sekä rajoitettujen operaattorien laajentaminen.
• Viikko 2: Hilbertin avaruuksien suorat summat, ortogonaalisuus, Hilbertin integraaliepäyhtälö, ortogonaalikomplementit ja suljetut aliavaruudet.
• Viikko 3: Pythagoraan yhtälö, Besselin epäyhtälö, ortonormaalit kokoelmat, Gram–Schmidtin prosessi, numeroituvat ortonormaalit kannat ja separoituvuus.
• Viikko 4: Rajoitetut operaattorit Hilbertin avaruuksissa, adjungoidut operaattorit, itseadjungoituvuus, operaattorinormin identiteetit, Fréchetin–Rieszin lause sekä Hahnin–Banachin tyyppinen laajennus.
• Viikko 5: Hermiten muodot, Banachin–Steinhausin lause, Laxin–Milgramin lause sekä normaalit, itseadjungoidut, unitaariset, positiiviset ja kompaktit operaattorit.
• Viikko 6: Siirto-operaattorit, adjungoidut operaattorit, spektrit, kompaktit itseadjungoidut operaattorit, Hilbertin–Schmidtin spektraalilause, spektraalihajotelmat ja polaariset hajotelmat.

Kurssikäytännöt

Kurssin voi suorittaa kahdella tavalla:

• Viikoittaiset harjoitukset 1/3 ja tentti 2/3.
• Tentti 100 %.

Liittyvät kurssit

Viralliset esitiedot

MS-A00XX, MS-A01XX, MS-C1540

Epäviralliset esitiedot

Metriset avaruudet ehdottomasti ja lineaarialgebra kannattaa käydä.

Samankaltaisia kursseja

MS-E1462: Banach Spaces

Trivia

Aikaleima

Perustuu kurssin vuoden 2025 versioon, joka opetettiin I periodissa.